Giải tích Ví dụ

$\int 2 x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{2} {(x + 2)}^{2} d x$

Bước 2

Khai triển $x^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(x + 2)}^{2}$ ở dạng $(x + 2) (x + 2)$ .

$2 \int x^{2} ((x + 2) (x + 2)) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x (x + 2) + 2 (x + 2)) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) d x$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) d x$

Bước 2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x \cdot x + x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x + 2 \cdot 2) d x$

Bước 2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 \int x^{2} (x \cdot x) + x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Bước 2.8

Sắp xếp lại $x$ và $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot x) + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Bước 2.9

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + x^{2} (2 x) + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Bước 2.10

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $2$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + x^{2} (2 \cdot 2) d x$

Bước 2.11

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 \int x^{2} x \cdot x + 2 \cdot x^{2} \cdot x + 2 \cdot x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.12

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int x^{2} x^{1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int x^{2 + 1} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.14

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \int x^{3} x + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.15

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int x^{3} x^{1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.16

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int x^{3 + 1} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.17

Cộng $3$ và $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{2} x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.18

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int x^{4} + 2 x^{2 + 1} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.20

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.21

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.23

Cộng $2$ và $1$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 2 x^{2} d x$

Bước 2.24

Nhân $2$ với $2$ .

$2 \int x^{4} + 2 x^{3} + 2 x^{3} + 4 x^{2} d x$

Bước 2.25

Cộng $2 x^{3}$ và $2 x^{3}$ .

$2 \int x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$2 (\int x^{4} d x + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + \int 4 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Bước 5

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x)$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x)$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + C + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C))$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$2 (\frac{x^{5}}{5} + x^{4} + \frac{4 x^{3}}{3}) + C$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 (\frac{1}{5} x^{5} + x^{4} + \frac{4}{3} x^{3}) + C$