Giải tích Ví dụ

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 - 5 x$ . Sau đó $d u_{1} = - 5 d x$ , nên $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 - 5 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 - 5 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 5$ với $1$ .

$0 - 5$

Bước 1.1.4

Trừ $5$ khỏi $0$ .

$- 5$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\cos^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Bước 5

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 7.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$