Giải tích Ví dụ

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Sau đó $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , nên $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Bước 1.1.2

Viết lại ${(2 r - 1)}^{2}$ ở dạng $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Bước 1.1.3

Khai triển $(2 r - 1) (2 r - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Bước 1.1.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Bước 1.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.2

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1.2.1

Di chuyển $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.2.2

Nhân $r$ với $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Bước 1.1.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Bước 1.1.4.2

Trừ $2 r$ khỏi $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Bước 1.1.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6

Tính $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Vì $3$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ đối với $r$ là $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 r^{2} - 4 r + 1$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.3

Vì $4$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $4 r^{2}$ đối với $r$ là $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.5

Vì $- 4$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- 4 r$ đối với $r$ là $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.7

Vì $1$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $1$ đối với $r$ là $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.8

Nhân $2$ với $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.9

Nhân $- 4$ với $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.6.10

Cộng $8 r - 4$ và $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Bước 1.1.7

Vì $6$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $6$ đối với $r$ là $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Bước 1.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.2.1

Nhân $8$ với $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Bước 1.1.8.2.2

Nhân $3$ với $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Bước 1.1.8.2.3

Cộng $24 r - 12$ và $0$ .

$24 r - 12$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ với $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{12}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Bước 4.3

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 4.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Bước 4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 5.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 5.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 5.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 5.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 5.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 5.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Bước 10

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 10.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$