Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (2 x)$ và $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Bước 4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 4 x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 8 x d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 4 x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 5.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$8 x + 0$

Bước 5.1.4.2

Cộng $8 x$ và $0$ .

$8 x$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Bước 5.3.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 5.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Bước 5.5.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 5.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Bước 6.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 8.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 8.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Bước 9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $\arctan (2 x) x$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Bước 10.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\ln (| u |)$ tại $5$ và tại $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.2

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Nhân $2$ với $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.2.2

Nhân $\arctan (2)$ với $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.2.3

Nhân $2$ với $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.3.2

Nhân $0$ với $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.2.4

Cộng $\arctan (2)$ và $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Bước 10.3.2

Kết hợp $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ và $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Bước 10.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $5$ là $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Bước 10.4.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Bước 10.4.3

Chia $5$ cho $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Dạng thập phân:

$0.70478923 \dots$