Giải tích Ví dụ

$y = {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{3})$

Bước 2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$ .

$3 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} (5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}])$

Bước 3.2.2

Nhân $5$ với $3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 - 5 x^{3}}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 6 - 5 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{(6 - 5 x^{3}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Nhân $6 - 5 x^{3}$ với $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [6 - 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 - 5 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.4

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.6

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 x^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} - x (- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.7

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 5 x (3 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.4.9

Nhân $3$ với $5$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x \cdot x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.5

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x)}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.5.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 (x^{2} x^{1})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{2 + 1}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 - 5 x^{3} + 15 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.6

Cộng $- 5 x^{3}$ và $15 x^{3}$ .

$15 {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2} \frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.7

Kết hợp $\frac{6 + 10 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ và $15$ .

$\frac{(6 + 10 x^{3}) \cdot 15}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Bước 3.8

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $6 + 10 x^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} {(\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}})}^{2}$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{5 x}{6 - 5 x^{3}}$ .

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{{(5 x)}^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $5 x$ .

$\frac{15 (6 + 10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{15 \cdot 6 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.1

Nhân $15$ với $6$ .

$\frac{90 + 15 (10 x^{3})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.4.2

Nhân $10$ với $15$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{5^{2} x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.4.3

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}} \cdot \frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.4.4

Nhân $\frac{90 + 150 x^{3}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ với $\frac{25 x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{2}}$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2} {(6 - 5 x^{3})}^{2}}$

Bước 3.9.4.5

Nhân ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ với ${(6 - 5 x^{3})}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.4.5.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{2 + 2}}$

Bước 3.9.4.5.2

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{(90 + 150 x^{3}) (25 x^{2})}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Bước 3.9.4.6

Di chuyển $25$ sang phía bên trái của $90 + 150 x^{3}$ .

$\frac{25 (90 + 150 x^{3}) x^{2}}{{(6 - 5 x^{3})}^{4}}$

Bước 3.9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{25 x^{2} (90 + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 3.9.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.1

Đưa $30$ ra ngoài $90 + 150 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.1.1

Đưa $30$ ra ngoài $90$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 150 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 3.9.6.1.2

Đưa $30$ ra ngoài $150 x^{3}$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3) + 30 (5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 3.9.6.1.3

Đưa $30$ ra ngoài $30 (3) + 30 (5 x^{3})$ .

$\frac{25 x^{2} (30 (3 + 5 x^{3}))}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

$\frac{25 x^{2} \cdot 30 (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 3.9.6.2

Nhân $30$ với $25$ .

$\frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$

Bước 5

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{750 x^{2} (3 + 5 x^{3})}{{(- 5 x^{3} + 6)}^{4}}$