Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin (a x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [a x]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\cos (a x) (a \cdot 1)$

Bước 1.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $a$ với $1$ .

$\cos (a x) a$

Bước 1.2.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (a x) a$ .

$f' (x) = a \cos (a x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a \cos (a x)$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$a \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a x$ .

$a (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 2.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$a (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$a (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 2.3

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a (- \sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.4

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$a^{1} a (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.5

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$a^{1} a^{1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a^{1 + 1} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a^{2} (- \sin (a x) \cdot 1)$

Bước 2.9

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.9.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$a^{2} (- \sin (a x))$

Bước 2.9.2

Sắp xếp lại các thừa số của $a^{2} (- \sin (a x))$ .

$f'' (x) = - a^{2} \sin (a x)$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- a^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- a^{2} \sin (a x)$ đối với $x$ là $- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$ .

$- a^{2} \frac{d}{d x} [\sin (a x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a x$ .

$- a^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$- a^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$- a^{2} (\cos (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 3.3

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$- a^{2} (\cos (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.4

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$- (a^{1} a^{2}) (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- a^{1 + 2} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.6

Cộng $1$ và $2$ .

$- a^{3} (\cos (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- a^{3} (\cos (a x) \cdot 1)$

Bước 3.8

Nhân $\cos (a x)$ với $1$ .

$f''' (x) = - a^{3} \cos (a x)$

Bước 4

Tìm đạo hàm bậc 4.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- a^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- a^{3} \cos (a x)$ đối với $x$ là $- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$ .

$- a^{3} \frac{d}{d x} [\cos (a x)]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = a x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $a x$ .

$- a^{3} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- a^{3} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $a x$ .

$- a^{3} (- \sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 4.3.2

Nhân $a^{3}$ với $1$ .

$a^{3} (\sin (a x) \frac{d}{d x} [a x])$

Bước 4.3.3

Vì $a$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $a x$ đối với $x$ là $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$a^{3} (\sin (a x) (a \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.4

Nhân $a^{3}$ với $a$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Di chuyển $a$ .

$a \cdot a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.4.2

Nhân $a$ với $a^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nâng $a$ lên lũy thừa $1$ .

$a^{1} a^{3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$a^{1 + 3} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$a^{4} (\sin (a x) (\frac{d}{d x} [x]))$

Bước 4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$a^{4} (\sin (a x) \cdot 1)$

Bước 4.6

Nhân $\sin (a x)$ với $1$ .

$f^{4} (x) = a^{4} \sin (a x)$

Bước 5

Căn bậc bốn của $f (x)$ đối với $x$ là $a^{4} \sin (a x)$ .

$a^{4} \sin (a x)$