Giải tích Ví dụ

${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Bước 1

Viết ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int {(\tan (x) + \cot (x))}^{2} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại ${(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ ở dạng $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ .

$\int (\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Bước 4.2

Khai triển $(\tan (x) + \cot (x)) (\tan (x) + \cot (x))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (x) (\tan (x) + \cot (x)) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Bước 4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) d x$

Bước 4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $\tan (x) \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.1.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + \tan (x) \cot (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Sắp xếp lại $\tan (x)$ và $\cot (x)$ .

$\int \tan^{2} (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.2.2

Viết lại $\tan (x) \cot (x)$ theo sin và cosin.

$\int \tan^{2} (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.3

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Viết lại $\cot (x) \tan (x)$ theo sin và cosin.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.4

Nhân $\cot (x) \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.4.1

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot (x) d x$

Bước 4.3.1.4.2

Nâng $\cot (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{1} (x) \cot^{1} (x) d x$

Bước 4.3.1.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + {\cot (x)}^{1 + 1} d x$

Bước 4.3.1.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 1 + 1 + \cot^{2} (x) d x$

Bước 4.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (x) + 2 + \cot^{2} (x) d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \tan^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + \int \sec^{2} (x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 9

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + \int 2 d x + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int \cot^{2} (x) d x$

Bước 11

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\cot^{2} (x)$ ở dạng $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Bước 12

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C + \int - 1 d x + \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 13

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C + \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 14

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$- x + C + \tan (x) + C + 2 x + C - x + C - \cot (x) + C$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$C + \tan (x) + C + x + C - x + C - \cot (x) + C$

Bước 15.1.2

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$C + \tan (x) + C + C + 0 + C - \cot (x) + C$

Bước 15.1.3

Cộng $C + \tan (x) + C + C$ và $0$ .

$C + \tan (x) + C + C + C - \cot (x) + C$

Bước 15.2

Rút gọn.

$\tan (x) - \cot (x) + C$

Bước 16

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = {(\tan (x) + \cot (x))}^{2}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \cot (x) + C$