Giải tích Ví dụ

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Bước 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\arctan (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + u^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.2.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})$

Bước 1.1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot (2 x)$

Bước 1.1.1.2.3

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{1 + x^{4}} \cdot x$

Bước 1.1.1.2.3.2

Kết hợp $\frac{2}{1 + x^{4}}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Bước 1.1.1.2.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{4} + 1})$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.2

Nhân $x^{4} + 1$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.6.1

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.3.6.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.4

Nhân $x$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.4.2

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.4.3

Cộng $3$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.5

Trừ $4 x^{4}$ khỏi $x^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Bước 1.1.2.6

Kết hợp $2$ và $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.2.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.3

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{4} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.5

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.7

Viết lại $- (3 x^{4} - 1)$ ở dạng $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.2.7.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 1.2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Bước 1.2.2

Cho tử bằng không.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Bước 1.2.3

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.1.2.1.2

Chia $3 x^{4} - 1$ cho $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Bước 1.2.3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Bước 1.2.3.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 x^{4} = 1$

Bước 1.2.3.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{4} = 1$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x^{4} = 1$ cho $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.3.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.3.3.2.1.2

Chia $x^{4}$ cho $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Bước 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Bước 1.2.3.5

Rút gọn $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.1

Viết lại $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Bước 1.2.3.5.2

Bất cứ nghiệm nào của $1$ đều là $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Bước 1.2.3.5.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ với $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Bước 1.2.3.5.4

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.4.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ với $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Bước 1.2.3.5.4.2

Nâng $\sqrt[4]{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Bước 1.2.3.5.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Bước 1.2.3.5.4.4

Cộng $1$ và $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Bước 1.2.3.5.4.5

Viết lại ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.4.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[4]{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Bước 1.2.3.5.4.5.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Bước 1.2.3.5.4.5.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Bước 1.2.3.5.4.5.4

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.4.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Bước 1.2.3.5.4.5.4.2

Viết lại biểu thức.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Bước 1.2.3.5.4.5.5

Tính số mũ.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Bước 1.2.3.5.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.5.5.1

Viết lại ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ ở dạng $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Bước 1.2.3.5.5.2

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Bước 1.2.3.6

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Bước 1.2.3.6.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Bước 1.2.3.6.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Bước 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Bước 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay thế biến $x$ bằng $- 3$ trong biểu thức.

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 {(- 3)}^{4} - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (3 \cdot 81 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.1.2

Nhân $3$ với $81$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $243$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{({(- 3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2.2

Cộng $81$ và $1$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Bước 4.2.2.3

Nâng $82$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Bước 4.2.3

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $2$ với $242$ .

$f'' (- 3) = - \frac{484}{6724}$

Bước 4.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $484$ và $6724$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $484$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Bước 4.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $6724$ .

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Bước 4.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Bước 4.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 3) = - \frac{121}{1681}$

Bước 4.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Bước 4.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (- 3)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.1.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Bước 5.2.2.2

Cộng $0$ và $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Bước 5.2.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Bước 5.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Bước 5.2.3.2

Chia $- 2$ cho $1$ .

$f'' (0) = 2$

Bước 5.2.3.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Bước 5.2.4

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Bước 5.3

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (x)$ dương

Bước 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $3$ với ${(3)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3 {(3)}^{4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{1 + 4} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Cộng $1$ và $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (3^{5} - 1)}{{({(3)}^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $5$ .

$f'' (3) = - \frac{2 (243 - 1)}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Trừ $1$ khỏi $243$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(3^{4} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $4$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{{(81 + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.3.2

Cộng $81$ và $1$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{82^{2}}$

Bước 6.2.3.3

Nâng $82$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot 242}{6724}$

Bước 6.2.4

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.1

Nhân $2$ với $242$ .

$f'' (3) = - \frac{484}{6724}$

Bước 6.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $484$ và $6724$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $484$ .

$f'' (3) = - \frac{4 (121)}{6724}$

Bước 6.2.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.4.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $6724$ .

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Bước 6.2.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot 121}{4 \cdot 1681}$

Bước 6.2.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (3) = - \frac{121}{1681}$

Bước 6.2.5

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{121}{1681}$ .

$- \frac{121}{1681}$

Bước 6.3

Đồ thị lồi trên khoảng $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ vì $f'' (3)$ âm.

Lồi trên $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Bước 8