Giải tích Ví dụ

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y^{3} + 1}$ ở dạng ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = y$ và $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = y^{3} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7.2.2

Di chuyển ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.7.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.8.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.8.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.9

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.10

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.11

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Cộng $3 y^{2} y'$ và $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.11.2

Kết hợp $3$ và $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.11.3

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.12

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.12.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.12.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.12.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.12.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.13

Kết hợp $\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.14

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Bước 3.15

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

Bước 6

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Bước 6.1.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.2

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ với $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ với $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.5

Nhân ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.5.1

Di chuyển ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.5.5

Chia $2$ cho $2$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.6

Rút gọn $2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ .

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.8

Nhân $2$ với $1$ .

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.1.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2.2

Cộng $3 y^{3} y'$ và $2 y^{3} y'$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Nhân $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y'$ ra ngoài $5 y^{3} y' + 2 y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa $y'$ ra ngoài $5 y^{3} y'$ .

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.1.2

Đưa $y'$ ra ngoài $2 y'$ .

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.1.3

Đưa $y'$ ra ngoài $y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ .

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 6.3.2

Chia mỗi số hạng trong $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ cho $5 y^{3} + 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia mỗi số hạng trong $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ cho $5 y^{3} + 2$ .

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Bước 6.3.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $5 y^{3} + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Bước 6.3.2.2.1.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Bước 7

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$