Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Bước 1

Viết lại $8$ ở dạng $9$ cộng $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Bước 2

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Bước 2.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Bước 2.3

Viết lại đa thức này.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Bước 2.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = 1$ và $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Bước 3

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Bước 4

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 4.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ đối với $u$ là $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Bước 6

Viết lại $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ ở dạng $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$