Giải tích Ví dụ

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x^{2} + 5$ và $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.2.2

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.4.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $3 x'$ và $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.4.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Bước 3.4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 5$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Bước 3.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Bước 3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Bước 3.6

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Bước 3.7

Vì $5$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $5$ đối với $y$ là $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Bước 3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.8.1

Cộng $2 x x'$ và $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Bước 3.8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Bước 3.9.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Bước 3.9.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Bước 3.9.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Bước 3.9.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.6.1

Nhân $3$ với $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.2

Nhân $3$ với $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.6

Cộng $1$ và $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Bước 3.9.6.7

Nhân $2$ với $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Bước 3.9.6.8

Cộng $3 x^{2} x'$ và $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Bước 3.9.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ .

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Bước 5.2

Đưa $x'$ ra ngoài $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $x'$ ra ngoài $9 x^{2} x'$ .

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $x'$ ra ngoài $2 x x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $x'$ ra ngoài $15 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Bước 5.2.4

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Bước 5.2.5

Đưa $x'$ ra ngoài $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ cho $9 x^{2} + 2 x + 15$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ cho $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Bước 5.3.2.1.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$