Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Bước 1

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 2

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 9

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 10

Kết hợp $\cos (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 12

Tích phân của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 13

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 14

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 15

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 16

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 17

Giả sử $u_{2} = 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 17.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 17.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 18

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 19

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Bước 20

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 21

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 22

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 22.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.1

Kết hợp $\sin (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23.4

Nhân $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 23.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 23.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 23.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 23.8

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 23.8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 23.8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 24

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 25

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$