Giải tích Ví dụ

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 1 + e^{2 x}$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [1 + e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{x} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{2 x + x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 6

Cộng $2 x$ và $x$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 7

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - e^{3 x} (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 8

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x} \cdot 1}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 10

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{(1 + e^{2 x}) e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 11.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$\frac{e^{x} + e^{2 x} e^{x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 11.2.1.2

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{e^{x} + e^{2 x + x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 11.2.1.2.2

Cộng $2 x$ và $x$ .

$\frac{e^{x} + e^{3 x} - 2 e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$

Bước 11.2.2

Trừ $2 e^{3 x}$ khỏi $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{x} - e^{3 x}}{{(1 + e^{2 x})}^{2}}$