Giải tích Ví dụ

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 3

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 3.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 4

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 6

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Bước 7

Vì $- 18$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 18$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

Bước 8

Giả sử $u_{2} = - 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u_{2} = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 8.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 8.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Bước 9.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

Bước 11

Nhân $- 1$ với $- 18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Bước 12

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 13.2

Triệt tiêu thừa số chung của $18$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 13.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 13.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 13.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 14

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Bước 15

Rút gọn.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 16

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Bước 16.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 4 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$