Giải tích Ví dụ

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arctanh (x)$ và $g (x) = 1 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $arctanh (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Bước 2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Bước 2.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Bước 3.1.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Bước 3.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Bước 3.1.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Bước 3.1.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Bước 3.1.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Bước 3.1.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Bước 3.1.3.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Bước 3.1.3.5

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Bước 3.1.3.6

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Bước 3.1.3.7

Cộng $0$ và $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Bước 3.1.3.8

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Bước 3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Bước 3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$