Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2} - 1$ và $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Bước 3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Bước 5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $(x^{2} - 1) e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6.2

Tính $x e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6.3

Tính $e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.3

Rút gọn.

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.4

Nhân $0$ với $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.6

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.9

Nhân $1$ với $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.10

Cộng $0$ và $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.11

Rút gọn.

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.12

Nhân $e$ với $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.13

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.14

Nhân $0$ với $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.15

Cộng $e$ và $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4.16

Rút gọn.

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Bước 6.4.17

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Bước 6.4.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 - 2 (e - e - - 1)$

Bước 7.1.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 - 2 (e - e + 1)$

Bước 7.1.2

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$1 - 2 (0 + 1)$

Bước 7.1.3

Cộng $0$ và $1$ .

$1 - 2 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$1 - 2$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- 1$

Bước 8