Giải tích Ví dụ

$f (x) = e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 100 e + 8 x^{4} + 49$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [100 e] + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.3

Vì $100 e$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $100 e$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0 + \frac{d}{d x} [8 x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{4}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{x} + 0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$e^{x} + 0 + 8 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.4.3

Nhân $4$ với $8$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + \frac{d}{d x} [49]$

Bước 1.5

Vì $49$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $49$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0 + 32 x^{3} + 0$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1.1

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3} + 0$

Bước 1.6.1.2

Cộng $e^{x} + 32 x^{3}$ và $0$ .

$e^{x} + 32 x^{3}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = 32 x^{3} + e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $32 x^{3} + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $32$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $32 x^{3}$ đối với $x$ là $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$32 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.2.3

Nhân $3$ với $32$ .

$96 x^{2} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 96 x^{2} + e^{x}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $96 x^{2} + e^{x}$ .

$96 x^{2} + e^{x}$