Giải tích Ví dụ

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Bước 1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Bước 1.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Bước 1.3

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Bước 2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Sau đó $d u = (2 x + 2) d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Bước 3.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2 x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $2 x + 2$ và $0$ .

$2 x + 2$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 4.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Bước 6

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 8.1.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 8.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 8.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 8.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 8.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 8.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3

Nhân $- 2$ với $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4.2.4

Chia $- 3$ cho $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$