Giải tích Ví dụ

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = arcsec (x)$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $arcsec (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Bước 3

Kết hợp $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $\sin^{2} (x)$ và $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Bước 4.3

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Bước 4.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Bước 4.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Bước 4.6

Viết lại $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ ở dạng $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Bước 4.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Bước 4.8

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Sắp xếp lại $- 1$ và $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Bước 4.8.2

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Bước 4.8.3

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Bước 4.9

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Bước 4.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Bước 4.10

Tách các phân số.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 4.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Bước 4.12

Nhân tử số và mẫu số của $\frac{1}{i}$ với liên hợp của $i$ để biến mẫu số thành số thực.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Bước 4.13

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.1

Kết hợp.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Bước 4.13.2

Nhân $i$ với $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Bước 4.13.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.13.3.1

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Bước 4.13.3.2

Nâng $i$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Bước 4.13.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Bước 4.13.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Bước 4.13.3.5

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Bước 4.14

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Bước 4.15

Viết lại $- 1 \cdot i$ ở dạng $- i$ .

$- i \csc (x)$