Giải tích Ví dụ

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

Bước 2

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

Bước 2.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Bước 2.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Bước 2.4.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Bước 2.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Bước 2.4.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

Bước 2.4.2.5

Chia $x \sin (x)$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

Bước 2.5

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

Bước 2.6

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

Bước 3

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Bước 3.2

Lấy tích phân $\frac{- 1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 3.2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 3.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 3.2.4

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 3.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 3.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 3.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 3.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.5

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.5.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.2.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x \sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Bước 4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

Bước 5

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

Bước 6

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

Bước 8

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

Bước 9

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

Bước 9.2

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Bước 9.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (- \cos (x) + C) x$

Bước 9.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Rút gọn $(- \cos (x) + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \cos (x) x + C x$

Bước 9.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \cos (x) x + C x$ .

$y = - x \cos (x) + C x$

Bước 9.3.2.1.2.2

Sắp xếp lại $- x \cos (x)$ và $C x$ .

$y = C x - x \cos (x)$