Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} + 4 x^{3}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} + 4 x^{3} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Bước 3

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 4 x^{3} d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 \int_{1}^{2} x^{3} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2})$

Bước 8

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Bước 8.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{2})$

Bước 8.2.2

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $2$ và tại $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$3 \frac{8 - 1}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.5

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.6

Nhân $3$ với $7$ .

$\frac{21}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $21$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1} + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.7.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7 + 4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.8

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$7 + 4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.1

Đưa $4$ ra ngoài $16$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.9.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 + 4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.9.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$7 + 4 (4 - \frac{1^{4}}{4})$

Bước 8.2.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$7 + 4 (4 - \frac{1}{4})$

Bước 8.2.3.11

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 8.2.3.12

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$7 + 4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 8.2.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$7 + 4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

Bước 8.2.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.14.1

Nhân $4$ với $4$ .

$7 + 4 \frac{16 - 1}{4}$

Bước 8.2.3.14.2

Trừ $1$ khỏi $16$ .

$7 + 4 (\frac{15}{4})$

Bước 8.2.3.15

Kết hợp $4$ và $\frac{15}{4}$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Bước 8.2.3.16

Nhân $4$ với $15$ .

$7 + \frac{60}{4}$

Bước 8.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.17.1

Đưa $4$ ra ngoài $60$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4}$

Bước 8.2.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.17.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 (1)}$

Bước 8.2.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$7 + \frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1}$

Bước 8.2.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$7 + \frac{15}{1}$

Bước 8.2.3.17.2.4

Chia $15$ cho $1$ .

$7 + 15$

Bước 8.2.3.18

Cộng $7$ và $15$ .

$22$

Bước 9