Giải tích Ví dụ

$(2 x - 3 y + 1) d x - (3 x + 2 y - 4) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x - 3 y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y + 1]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 3 y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 3 y$ đối với $y$ là $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 + 0$

Bước 1.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 + 0$

Bước 1.5.2

Cộng $- 3$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + 2 y - 4)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (3 x + 2 y - 4)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + 2 y - 4]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + 2 y - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.6

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.7

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.8

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Bước 2.9

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

Bước 2.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

Bước 2.10.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 3$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 3$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = - 3$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 3 = - 3$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x + 2 y - 4) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = - (3 x + 2 y - 4)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int 3 x + 2 y - 4 d y$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int 2 y d y + \int - 4 d y)$

Bước 5.4

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 \int y d y + \int - 4 d y)$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 4 d y)$

Bước 5.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 4 y + C)$

Bước 5.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + 2 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 4 y + C)$

Bước 5.8

Rút gọn.

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- (3 x y + y^{2} - 4 y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (3 x y + y^{2} - 4 y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [3 x y + y^{2} - 4 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y + y^{2} - 4 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.3

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.5

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.6

Vì $- 4 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4 y$ đối với $x$ là $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.7

Nhân $3$ với $1$ .

$- (3 y + 0 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.8

Cộng $3 y$ và $0$ .

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.9

Cộng $3 y$ và $0$ .

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.3.10

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y + 1$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $3 y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 1 + 3 y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x - 3 y + 1 + 3 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- 3 y$ và $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0 + 1$

Bước 9.1.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $2 x + 1$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x + 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 1 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 1 d x$

Bước 10.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int 2 x d x + \int d x$

Bước 10.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x d x + \int d x$

Bước 10.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Bước 10.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Bước 10.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Bước 10.8

Rút gọn.

$g (x) = x^{2} + x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + y^{2} - 4 y) + x^{2} + x + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - (3 x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} - (- 4 y) + x^{2} + x + C$

Bước 12.2.2

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 (x y) - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$

$f (x, y) = - 3 x y - y^{2} + 4 y + x^{2} + x + C$