Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt{2 x - 1}$

Bước 1

Lấy tích phân cả hai vế đối với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đạo hàm bậc nhất bằng tích phân của đạo hàm bậc hai đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{2 x - 1} d x$

Bước 1.2

Giả sử $u_{1} = 2 x - 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 1.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.2.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 1.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.2.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \sqrt{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 1.3

Kết hợp $\sqrt{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{\sqrt{u_{1}}}{2} d u_{1}$

Bước 1.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

Bước 1.5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \int {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 1.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$

Bước 1.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.1

Viết lại $\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (1)}{6} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 1.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}$

Bước 2

Viết lại phương trình.

$d y = (\frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1}) d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Bước 3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{1} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} d x + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.3

Giả sử $u_{2} = 2 x - 1$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 x - 1$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.1

Tính đạo hàm $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Bước 3.3.3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3.3.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3.3.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Bước 3.3.3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 3.3.3.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 3.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.4

Kết hợp ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{3} \int \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{2} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{2 \cdot 3} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{3}{2}} d u_{2} + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Bước 3.3.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} (\frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Bước 3.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.1

Rút gọn.

$y + C_{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.2.1

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{6 \cdot 5} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2.2

Nhân $6$ với $5$ .

$y + C_{2} = \frac{2}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{2} = \frac{2 (1)}{30} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.9.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $30$ .

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{2} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.9.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {u_{2}}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x - 1$ .

$y + C_{2} = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = \frac{1}{15} {(2 x - 1)}^{\frac{5}{2}} + C x + D$