Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \sin (3 x + π)$ , $y (0) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \sin (3 x + π) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \sin (3 x + π) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \sin (3 x + π) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 3 x + π$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 3 x + π$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $3 x + π$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + π]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x + π$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [π]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Vì $π$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $π$ đối với $x$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 2.3.1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\sin (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos (u)$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (u)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x + π$ .

$y + C_{1} = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ .

$4 = - \frac{1}{3} \cos (3 \cdot 0 + π) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (3 \cdot 0 + π) + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $3$ với $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (0 + π) + K = 4$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $π$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \cos (π) + K = 4$

Bước 4.2.1.3

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \frac{1}{3} \cdot (- \cos (0)) + K = 4$

Bước 4.2.1.4

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot (- 1 \cdot 1) + K = 4$

Bước 4.2.1.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot - 1 + K = 4$

Bước 4.2.1.6

Nhân $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) + K = 4$

Bước 4.2.1.6.2

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{1}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 1}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $4$ với $3$ .

$K = \frac{12 - 1}{3}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $1$ khỏi $12$ .

$K = \frac{11}{3}$

Bước 5

Thay $\frac{11}{3}$ cho $K$ trong $y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{11}{3}$ bằng $K$ .

$y = - \frac{1}{3} \cos (3 x + π) + \frac{11}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $\cos (3 x + π)$ và $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{\cos (3 x + π)}{3} + \frac{11}{3}$