Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2}$ , $y (1) = 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int x^{4} {(x^{5} - 5)}^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x^{5} - 5$ . Sau đó $d u = 5 x^{4} d x$ , nên $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x^{5} - 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x^{5} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 5]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{5} - 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $- 5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 5$ đối với $x$ là $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $5 x^{4}$ và $0$ .

$5 x^{4}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int u^{2} \frac{1}{5} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $u^{2}$ và $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{2}}{5} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{2} d u$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại $\frac{1}{5} (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $\frac{1}{5}$ với $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5 \cdot 3} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $5$ với $3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} u^{3} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5} - 5$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $5$ cho $y$ trong $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ .

$5 = \frac{1}{15} {(1^{5} - 5)}^{3} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(1^{5} - 5)}^{3} + K = 5$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{15} \cdot {(1 - 5)}^{3} + K = 5$

Bước 4.2.2

Trừ $5$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot {(- 4)}^{3} + K = 5$

Bước 4.2.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{15} \cdot - 64 + K = 5$

Bước 4.2.4

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $- 64$ .

$\frac{- 64}{15} + K = 5$

Bước 4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{64}{15} + K = 5$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{64}{15}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 5 + \frac{64}{15}$

Bước 4.3.2

Để viết $5$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$K = 5 \cdot \frac{15}{15} + \frac{64}{15}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $5$ và $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{5 \cdot 15}{15} + \frac{64}{15}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{5 \cdot 15 + 64}{15}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $5$ với $15$ .

$K = \frac{75 + 64}{15}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $75$ và $64$ .

$K = \frac{139}{15}$

Bước 5

Thay $\frac{139}{15}$ cho $K$ trong $y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{139}{15}$ bằng $K$ .

$y = \frac{1}{15} {(x^{5} - 5)}^{3} + \frac{139}{15}$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sử dụng định lý nhị thức.

$y = \frac{1}{15} ({(x^{5})}^{3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{5 \cdot 3} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $5$ với $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 {(x^{5})}^{2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{5 \cdot 2} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.2.2

Nhân $5$ với $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} + 3 x^{10} \cdot - 5 + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.3

Nhân $- 5$ với $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.4

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 3 x^{5} \cdot 25 + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.5

Nhân $25$ với $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} + {(- 5)}^{3}) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.2.6

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $3$ .

$y = \frac{1}{15} (x^{15} - 15 x^{10} + 75 x^{5} - 125) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{1}{15} x^{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.1

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $x^{15}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (- 15 x^{10}) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.2.1

Đưa $15$ ra ngoài $- 15 x^{10}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{15}}{15} + \frac{1}{15} (15 (- x^{10})) + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (75 x^{5}) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.3.1

Đưa $15$ ra ngoài $75 x^{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + \frac{1}{15} (15 (5 x^{5})) + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{15} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.4

Triệt tiêu thừa số chung $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.4.4.1

Đưa $5$ ra ngoài $15$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 (3)} \cdot - 125 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.4.2

Đưa $5$ ra ngoài $- 125$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{5 \cdot 3} \cdot (5 \cdot - 25) + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.4.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{1}{3} \cdot - 25 + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.4.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 25$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25}{3} + \frac{139}{15}$

Bước 5.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} + \frac{139}{15}$

Bước 5.3

Để viết $- \frac{25}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{139}{15}$

Bước 5.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $\frac{25}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{139}{15}$

Bước 5.4.2

Nhân $3$ với $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} - \frac{25 \cdot 5}{15} + \frac{139}{15}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 25 \cdot 5 + 139}{15}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $- 25$ với $5$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{- 125 + 139}{15}$

Bước 5.6.2

Cộng $- 125$ và $139$ .

$y = \frac{x^{15}}{15} - x^{10} + 5 x^{5} + \frac{14}{15}$