Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y = \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + x^{3}} d x}$

Bước 1.2.2

Viết lại $x^{3}$ ở dạng ${(x^{3})}^{1}$ .

$e^{3 \int \frac{x^{2}}{1 + {(x^{3})}^{1}} d x}$

Bước 1.2.3

Giả sử $u_{1} = x^{3}$ . Sau đó $d u_{1} = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{3}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1.1

Tính đạo hàm $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.2.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{1 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Bước 1.2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Rút gọn.

$e^{3 \int \frac{1}{1 + u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}}$

Bước 1.2.4.2

Nhân $\frac{1}{1 + u_{1}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{(1 + u_{1}) \cdot 3} d u_{1}}$

Bước 1.2.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $1 + u_{1}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{3 (1 + u_{1})} d u_{1}}$

Bước 1.2.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$e^{3 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1})}$

Bước 1.2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Bước 1.2.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{3}{3} \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Bước 1.2.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{1 \int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Bước 1.2.6.3

Nhân $\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$ với $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}}$

Bước 1.2.7

Giả sử $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1.1

Tính đạo hàm $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Bước 1.2.7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 1.2.7.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 1.2.7.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 1.2.7.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 1.2.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}}$

Bước 1.2.8

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$e^{\ln (| u_{2} |) + C}$

Bước 1.2.9

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + u_{1}$ .

$e^{\ln (| 1 + u_{1} |) + C}$

Bước 1.2.9.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$e^{\ln (| 1 + x^{3} |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (1 + x^{3})}$

Bước 1.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$1 + x^{3}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $1 + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $1 + x^{3}$ .

$(1 + x^{3}) \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.2

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1 + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{1^{3} + x^{3}} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.3.2

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = 1$ và $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.3.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) (\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} y) = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{3 x^{2}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ và $y$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + (1 + x^{3}) \frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.5

Nhân $1 + x^{3}$ với $\frac{3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x^{3}) (3 x^{2} y)}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1^{3} + x^{3}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.6.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.6.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.6.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + \frac{(1 - x + x^{2}) \cdot 3 x^{2} y}{1 - x + x^{2}} = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.2.8.2

Chia $3 x^{2} y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1 + x^{3}}$

Bước 2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{1^{3} + x^{3}}$

Bước 2.3.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Bước 2.3.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = (1 + x^{3}) \frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.4

Nhân $1 + x^{3}$ với $\frac{1}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1^{3} + x^{3}}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.5.2

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.5.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{(1 + x) (1 - x + x^{2})}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$

Bước 2.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Bước 2.7

Triệt tiêu thừa số chung $1 - x + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = \frac{1 - x + x^{2}}{1 - x + x^{2}}$

Bước 2.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 1$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] = 1$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{3}) y] d x = \int d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$(1 + x^{3}) y = \int d x$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(1 + x^{3}) y = x + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x^{3}) y = x + C$ cho $1 + x^{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + x^{3}) y = x + C$ cho $1 + x^{3}$ .

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + x^{3}) y}{1 + x^{3}} = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{1 + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{1^{3} + x^{3}} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.3.1.1.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.3.1.1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.3.1.1.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{3}}$

Bước 7.3.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{1^{3} + x^{3}}$

Bước 7.3.1.2.2

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1^{2} - 1 x + x^{2})}$

Bước 7.3.1.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - 1 x + x^{2})}$

Bước 7.3.1.2.3.2

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = \frac{x}{(1 + x) (1 - x + x^{2})} + \frac{C}{(1 + x) (1 - x + x^{2})}$