Giải tích Ví dụ

$(1 + e^{2 x}) d x - e^{x} y^{2} d y = 0$

Bước 1

Trừ $(1 + e^{2 x}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- e^{x} y^{2} d y = - (1 + e^{2 x}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} (- e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \frac{1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{e^{x}}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3.2.2

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{x} y^{2}$ .

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} (y^{2})) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{e^{x}} (e^{x} y^{2}) d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3.2.4

Viết lại biểu thức.

$- y^{2} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (1 + e^{2 x})) d x$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- y^{2} d y = - \frac{1}{e^{x}} (1 + e^{2 x}) d x$

Bước 3.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} \cdot 1 - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{1}{e^{x}} e^{2 x}) d x$

Bước 3.6

Kết hợp $e^{2 x}$ và $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{2 x}}{e^{x}}) d x$

Bước 3.7

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{2 x}$ và $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Đưa $e^{x}$ ra ngoài $e^{2 x}$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x}}) d x$

Bước 3.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Nhân với $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Bước 3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x} e^{x}}{e^{x} \cdot 1}) d x$

Bước 3.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - \frac{e^{x}}{1}) d x$

Bước 3.7.2.4

Chia $e^{x}$ cho $1$ .

$- y^{2} d y = (- \frac{1}{e^{x}} - e^{x}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int - y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Bước 4.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Bước 4.2.3

Viết lại $- (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ ở dạng $- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} - e^{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{x}} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Làm âm số mũ của $e^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.3.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.3.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int 1 e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.3.2.2

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int e^{- x} d x + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.4

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.3.4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.3.4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.3.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int - e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - - \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.6.2

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int e^{u} d u + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Bước 4.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - \int e^{x} d x$

Bước 4.3.9

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Bước 4.3.10

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{u} - e^{x} + C_{4}$

Bước 4.3.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = e^{- x} - e^{x} + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- \frac{1}{3} y^{3} = e^{- x} - e^{x} + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} y^{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $- 3 (- \frac{1}{3} y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{y^{3}}{3}) = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{y^{3}}{3}$ vào tử số.

$- 3 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \cdot - 1 \frac{- y^{3}}{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$- - y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.1.1.3.2

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$y^{3} = - 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $- 3 (e^{- x} - e^{x} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} = - 3 e^{- x} - 3 (- e^{x}) - 3 K$

Bước 5.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $- 3$ .

$y^{3} = - 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$

Bước 5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \sqrt[3]{- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K}$

Bước 5.4

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 e^{- x} + 3 e^{x} - 3 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 e^{- x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 e^{x} - 3 K}$

Bước 5.4.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 e^{x}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) - 3 K}$

Bước 5.4.3

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x}) + 3 (- K)}$

Bước 5.4.4

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- e^{- x}) + 3 (e^{x})$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)}$

Bước 5.4.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- e^{- x} + e^{x}) + 3 (- K)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} - K)}$

Bước 6

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \sqrt[3]{3 (- e^{- x} + e^{x} + K)}$