Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ cho $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.3.2.4

Chia $2 y$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 e^{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

Bước 1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

Bước 1.4.2.4

Chia $3 e^{- x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{2 x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

Bước 3.4

Nhân $e^{2 x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

Bước 3.4.3

Cộng $- x$ và $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

Bước 7.2

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn.

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ cho $e^{2 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ cho $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{x}$ và $e^{2 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $e^{2 x}$ ra ngoài $3 e^{x}$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 8.3.1.2.4

Chia $3 e^{- x}$ cho $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $6$ cho $y$ trong $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ .

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ .

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Bước 10.2.2

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Bước 10.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $2$ với $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Bước 10.2.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

Bước 10.2.4

Chia $C$ cho $1$ .

$3 + C = 6$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 6 - 3$

Bước 10.3.2

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$C = 3$

Bước 11

Thay $3$ cho $C$ trong $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$