Giải tích Ví dụ

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y = \ln (| x |)$ ; con $y (1) = 10$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(x + 1) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = y$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(x + 1) y' + y \frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(x + 1) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 1.5

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x + 1) y' + y (1 + 0)$

Bước 1.6

Cộng $1$ và $0$ .

$(x + 1) y' + y \cdot 1$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Bước 1.8

Sắp xếp lại $y$ và $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Bước 1.9

Nhân $y$ với $1$ .

$(x + 1) \frac{d y}{d x} + y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(x + 1) y] = \ln (| x |)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(x + 1) y] d x = \int \ln (| x |) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(x + 1) y = \int \ln (| x |) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (| x |)$ và $d v = 1$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x$

Bước 5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - \int d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - (x + C)$

Bước 5.4

Rút gọn.

$(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ cho $x + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(x + 1) y = \ln (| x |) x - x + C$ cho $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + 1) y}{x + 1} = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} + \frac{- x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{\ln (| x |) x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x}{x + 1} + \frac{C}{x + 1}$

Bước 6.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\ln (| x |) x - x + C}{x + 1}$

Bước 6.3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (| x |) x - x + C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$

Bước 7

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $10$ cho $y$ trong $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ .

$10 = \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$

Bước 8

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$ .

$\frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = 10$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế của phương trình với $1 + 1$ .

$(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Rút gọn $(1 + 1) \frac{1 \ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1.1

Nhân $\ln (| 1 |)$ với $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (| 1 |) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$(1 + 1) \frac{\ln (1) - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$(1 + 1) \frac{0 - 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{1 + 1} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Cộng $1$ và $1$ .

$(1 + 1) \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2.2

Cộng $1$ và $1$ .

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{- 1 + C}{2} = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.1.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$- 1 + C = (1 + 1) \cdot 10$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(1 + 1) \cdot 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Cộng $1$ và $1$ .

$- 1 + C = 2 \cdot 10$

Bước 8.3.2.1.2

Nhân $2$ với $10$ .

$- 1 + C = 20$

Bước 8.4

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 20 + 1$

Bước 8.4.2

Cộng $20$ và $1$ .

$C = 21$

Bước 9

Thay $21$ cho $C$ trong $y = \frac{x \ln (| x |) - x + C}{x + 1}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay $21$ bằng $C$ .

$y = \frac{x \ln (| x |) - x + 21}{x + 1}$