Giải tích Ví dụ

$e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ cho $e^{y}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1) = 1$ cho $e^{y}$ .

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Bước 1.1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{y} (\frac{d y}{d x} + 1)}{e^{y}} = \frac{1}{e^{y}}$

Bước 1.1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x} + 1$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 1 = \frac{1}{e^{y}}$

Bước 1.1.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} - 1$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\frac{1}{e^{y}} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} (\frac{1}{e^{y}} - 1)$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} - 1 \cdot \frac{e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.1.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{e^{y}}{e^{y}}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{e^{y}} + \frac{- e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{1}{\frac{1 - e^{y}}{e^{y}}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int 1 \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.3

Nhân $\frac{e^{y}}{1 - e^{y}}$ với $1$ .

$\int \frac{e^{y}}{1 - e^{y}} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = 1 - e^{y}$ . Sau đó $d u = - e^{y} d y$ , nên $- \frac{1}{e^{y}} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = 1 - e^{y}$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $1 - e^{y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - e^{y}]$

Bước 2.2.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Bước 2.2.2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- e^{y}]$

Bước 2.2.2.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- e^{y}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 2.2.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 - e^{y}$

Bước 2.2.2.1.4

Trừ $e^{y}$ khỏi $0$ .

$- e^{y}$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int d x$

Bước 2.2.3

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int d x$

Bước 2.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - e^{y}$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \ln (| 1 - e^{y} |) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \ln (| 1 - e^{y} |) = x + C$