Giải tích Ví dụ

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Bước 1

Viết bài toán ở dạng một biểu thức toán học.

$x \frac{d y}{d x} - y = 2 x^{2} y$ $y = A x e^{x^{2}}$

Bước 2

Viết lại phương trình vi phân.

$x y' - y = 2 x^{2} y$

Bước 3

Tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (A x e^{x^{2}})$

Bước 3.2

Đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $y'$ .

$y'$

Bước 3.3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $A$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $A x e^{x^{2}}$ đối với $x$ là $A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$ .

$A \frac{d}{d x} [x e^{x^{2}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x^{2}}$ .

$A (x \frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2}$ .

$A (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$A (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$A (x (e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$A (x (e^{x^{2}} (2 x)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x^{1} x (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.6

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$A (x^{1} x^{1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$A (x^{1 + 1} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.8.1

Cộng $1$ và $1$ .

$A (x^{2} (e^{x^{2}} \cdot (2)) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.8.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{x^{2}}$ .

$A (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} \cdot 1)$

Bước 3.3.10

Nhân $e^{x^{2}}$ với $1$ .

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}}) + e^{x^{2}})$

Bước 3.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x^{2} (2 e^{x^{2}})) + A e^{x^{2}}$

Bước 3.3.11.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$

Bước 3.3.11.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x^{2}} x^{2} A + e^{x^{2}} A$ .

$2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Bước 3.4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y' = 2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}$

Bước 4

Thay vào phương trình vi phân đã cho.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}} + A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (2 x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 x (x^{2} A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.1.3

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.1.3.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{2 + 1} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.1.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - (A x e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}} = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + x (A e^{x^{2}}) - A x e^{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x (A e^{x^{2}})$ và $- A x e^{x^{2}}$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + e^{x^{2}} A x - e^{x^{2}} A x = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.2.2

Trừ $e^{x^{2}} A x$ khỏi $e^{x^{2}} A x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) + 0 = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.2.3

Cộng $2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ và $0$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{2} (A x e^{x^{2}})$

Bước 5.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển $x$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x \cdot x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Bước 5.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 (x^{1} x^{2}) (A e^{x^{2}})$

Bước 5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{1 + 2} (A e^{x^{2}})$

Bước 5.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 x^{3} (A e^{x^{2}}) = 2 x^{3} (A e^{x^{2}})$ .

$2 x^{3} A e^{x^{2}} = 2 x^{3} A e^{x^{2}}$

Bước 6

Đáp án đã cho thỏa mãn phương trình vi phân đã cho.

$y = A x e^{x^{2}}$ là đáp án của $x y' - y = 2 x^{2} y$