Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $y \cot (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $- 1 \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1 \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- 1 \cot (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\cot (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sin^{- 1} (x)$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Bước 2.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Bước 3.3

Nhân $\csc (x) \csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Bước 3.3.2

Nâng $\csc (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Bước 3.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Bước 3.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Bước 7

Vì đạo hàm của $- \cot (x)$ là $\csc^{2} (x)$ , tích phân của $\csc^{2} (x)$ là $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ cho $\csc (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ cho $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Tách các phân số.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.2

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.3

Viết lại $\cot (x)$ theo sin và cosin.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.5

Viết $\sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.7

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.8

Tách các phân số.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Bước 8.3.1.9

Viết lại $\csc (x)$ theo sin và cosin.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Bước 8.3.1.10

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Bước 8.3.1.11

Nhân $\sin (x)$ với $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Bước 8.3.1.12

Chia $C$ cho $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$