Giải tích Ví dụ

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Bước 1

Giả sử $v = x + y$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $x + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Bước 4

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Giải tìm $\frac{d v}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d v}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1.1

Cộng $v$ cho cả hai vế của phương trình.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Bước 4.1.1.2

Cộng $2 v$ và $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Bước 4.1.2

Chia mỗi số hạng trong $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ cho $v$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ cho $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Bước 4.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Bước 4.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d v}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Bước 4.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Bước 4.1.2.3.1.2

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Bước 4.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Bước 4.3

Triệt tiêu thừa số chung $3 + \frac{1}{v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Bước 4.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Bước 4.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Bước 5

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Bước 5.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Bước 5.2.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Bước 5.2.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Bước 5.2.1.3

Nhân $\frac{v}{3 v + 1}$ với $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Bước 5.2.2

Chia $v$ cho $3 v + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Bước 5.2.2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $v$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Bước 5.2.2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Bước 5.2.2.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Bước 5.2.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Bước 5.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Bước 5.2.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Bước 5.2.6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $v$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Bước 5.2.7

Giả sử $u = 3 v + 1$ . Sau đó $d u = 3 d v$ , nên $\frac{1}{3} d u = d v$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1

Hãy đặt $u = 3 v + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d v}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.1

Tính đạo hàm $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Bước 5.2.7.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 v + 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Bước 5.2.7.1.3

Tính $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $v$ , nên đạo hàm của $3 v$ đối với $v$ là $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Bước 5.2.7.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Bước 5.2.7.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Bước 5.2.7.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.7.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $1$ đối với $v$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 5.2.7.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 5.2.7.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Bước 5.2.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.8.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Bước 5.2.8.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Bước 5.2.9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Bước 5.2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.10.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Bước 5.2.10.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Bước 5.2.11

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Bước 5.2.12

Rút gọn.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Bước 5.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Bước 6

Giải tìm $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Bước 6.1.2

Nhân $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Sắp xếp lại $\ln (| u |)$ và $\frac{1}{9}$ .

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Bước 6.1.2.2

Rút gọn $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{9}$ trong logarit.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Bước 6.2

Cộng $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Bước 6.4

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Bước 6.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Bước 6.5

Rút gọn $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Rút gọn $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Bước 6.5.1.2

Nhân các số mũ trong ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Bước 6.5.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Bước 6.5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Bước 6.5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Bước 6.5.2

Sắp xếp lại $3 x$ và $3 C$ .

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Bước 7

Rút gọn hằng số tích phân.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Bước 9

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Bước 9.2

Trừ $x$ khỏi $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$