Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{1}{1 + x^{2}} y = x^{3}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Bước 1.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - y \frac{1}{x^{2} + 1} = x^{3}$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x^{2} + 1}) = x^{3}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$

Bước 1.4

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y = x^{3}$ với $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Bước 1.6

Kết hợp $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ và $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{1}{x^{2} + 1} y x = x^{3} x$

Bước 1.7

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y}{x^{2} + 1} x = x^{3} x$

Bước 1.8

Kết hợp $x$ và $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x$

Bước 1.9

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.9.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3} x^{1}$

Bước 1.9.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{3 + 1}$

Bước 1.9.2

Cộng $3$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Bước 1.10

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Bước 1.10.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y}{x^{2} + 1} = x^{4}$

Bước 1.11

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{x}{x^{2} + 1}) = x^{4}$

Bước 1.12

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{x^{2} + 1} y = x^{4}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{x}{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x}$

Bước 2.2.2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.2.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.2.2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.2.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$e^{- \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 2.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C}$

Bước 2.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x^{2} + 1)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{x^{2} + 1} y) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{x}{x^{2} + 1}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x y}{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{x y}{x^{2} + 1}$ với $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x^{2} + 1$ với ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Nhân $x^{2} + 1$ với ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Nâng $x^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.2.4.2.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x^{4}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{x^{4}}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{1}}} d x$

Bước 7.2

Giả sử $x = \tan (t_{1})$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t_{1})$ dương.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn $\sqrt{{(\tan^{2} (t_{1}) + 1)}^{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (t_{1}))}^{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{{\sec (t_{1})}^{2 \cdot 1}}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.3.1.2.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.3.1.3

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t_{1})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Đưa $\sec (t_{1})$ ra ngoài $\sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{\tan^{4} (t_{1})}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

Bước 7.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.4

Nâng $\sec (t_{1})$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \tan^{4} (t_{1}) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {\tan (t_{1})}^{2 (2)} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.5.2

Viết lại ${\tan (t_{1})}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(\tan^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.6

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t_{1})$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t_{1})$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int {(- 1 + \sec^{2} (t_{1}))}^{2} \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.7

Rút gọn.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int (1 - 2 \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t)) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int 1 \sec^{1} (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec^{1} (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec^{1} (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.8.2

Rút gọn mỗi số hạng.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) + \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.10

Tích phân của $\sec (t_{1})$ đối với $t_{1}$ là $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C + \int - 2 \sec^{2} (t) \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.11

Vì $- 2 \sec^{2} (t)$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $- 2 \sec^{2} (t)$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1} + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.12

Tích phân của $\sec (t_{1})$ đối với $t_{1}$ là $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \int \sec^{4} (t) \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.13

Vì $\sec^{4} (t)$ không đổi đối với $t_{1}$ , hãy di chuyển $\sec^{4} (t)$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) \int \sec (t_{1}) d t_{1}$

Bước 7.14

Tích phân của $\sec (t_{1})$ đối với $t_{1}$ là $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C - 2 \sec^{2} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C) + \sec^{4} (t) (\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C)$

Bước 7.15

Rút gọn.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |) + C$

Bước 7.16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t_{1}$ với $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, x)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, x)$ . Do đó, $\sec (\arctan (x))$ là $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.1.2

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.2.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.2.2

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.3

Nhân $- 2 \sec^{2} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.3.1

Sắp xếp lại $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ và $- 2$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.3.2

Rút gọn $- 2 \cdot \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.4

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| \sqrt{1 + x^{2}} + x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.5.1

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + \tan (\arctan (x)) |) + C$

Bước 8.2.1.5.2

Hàm tang và acrtang là các hàm nghịch đảo.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Bước 8.3

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) = - \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.4

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + C = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$

Bước 8.5

Trừ $C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$

Bước 8.6

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = - \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) - \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.1

$\frac{- \frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.2.2

Chia $\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ cho $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.6.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.2

Chia $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ cho $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1} + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)}{- 1}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ ở dạng $- (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t))$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - (\ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t)) + \frac{- \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{- 1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.5

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \frac{\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)}{1} + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.6

Chia $\sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ cho $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{- C}{- 1}$

Bước 8.6.3.1.7

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + \frac{C}{1}$

Bước 8.6.3.1.8

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C$

Bước 8.7

Nhân cả hai vế với ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 8.8.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.2.1

Rút gọn $(\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) + C) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \sec^{4} (t) \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.8.2.1.2.1

Sắp xếp lại $\sec^{4} (t)$ và $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |)$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8.2.1.2.2

Di chuyển $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Bước 8.8.2.1.2.3

Sắp xếp lại $- \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ và $\ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) \sec^{4} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \ln ({(\sqrt{1 + x^{2}} + x)}^{2}) \sec^{2} (t) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \ln (| \sqrt{1 + x^{2}} + x |) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$