Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \sin^{3} (t)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $\sin^{2} (t)$ ra ngoài.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Bước 2.3.2

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (t)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = \cos (t)$ . Sau đó $d u = - \sin (t) d t$ , nên $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = \cos (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Bước 2.3.3.1.2

Đạo hàm của $\cos (t)$ đối với $t$ là $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

Bước 2.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Bước 2.3.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

Bước 2.3.9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\cos^{3} (t)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ ở dạng $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $y$ trong $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ .

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

Bước 6.2.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

Bước 6.2.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

Bước 6.2.3.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

Bước 6.2.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

Bước 6.2.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Bước 6.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Bước 6.2.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

Bước 6.2.7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ cho $e^{- \frac{2}{3}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ cho $e^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $e^{- \frac{2}{3}}$ ra ngoài $C e^{\frac{- 2}{3}}$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Nhân với $1$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.2.4

Chia $C e^{\frac{0}{3}}$ cho $1$ .

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.3.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.4.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.2.4.2

Nhân $C$ với $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Di chuyển $e^{- \frac{2}{3}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e^{\frac{2}{3}}$

Bước 7

Thay $e^{\frac{2}{3}}$ cho $C$ trong $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $e^{\frac{2}{3}}$ bằng $C$ .

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Bước 7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$