Giải tích Ví dụ

Solve $x \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ and find the particular solution when $y (1) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} (y^{2} + 1)$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = 1 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\arctan (y) + C_{1} = x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = x + K$

Bước 3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (x + K)$

Bước 4

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \tan (x + K)$ .

$1 = \tan (1 + K)$

Bước 5

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (1 + K) = 1$ .

$\tan (1 + K) = 1$

Bước 5.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $K$ từ trong hàm tang.

$1 + K = \arctan (1)$

Bước 5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Giá trị chính xác của $\arctan (1)$ là $\frac{π}{4}$ .

$1 + K = \frac{π}{4}$

Bước 5.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{π}{4} - 1$

Bước 5.5

Hàm tang dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ ba. Để tìm đáp án thứ hai, hãy cộng góc tham chiếu từ $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$1 + K = π + \frac{π}{4}$

Bước 5.6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $π + \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.1

Để viết $π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.6.1.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.2.1

Kết hợp $π$ và $\frac{4}{4}$ .

$1 + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Bước 5.6.1.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$1 + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Bước 5.6.1.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1.3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π$ .

$1 + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Bước 5.6.1.3.2

Cộng $4 π$ và $π$ .

$1 + K = \frac{5 π}{4}$

Bước 5.6.2

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = \frac{5 π}{4} - 1$

Bước 5.7

Tìm chu kỳ của $\tan (1 + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Bước 5.7.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{π}{| 1 |}$

Bước 5.7.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{π}{1}$

Bước 5.7.4

Chia $π$ cho $1$ .

$π$

Bước 5.8

Chu kỳ của hàm $\tan (1 + K)$ là $π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $π$ radian theo cả hai hướng.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n, \frac{5 π}{4} - 1 + π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 5.9

Hợp nhất các câu trả lời.

$K = \frac{π}{4} - 1 + π n$

Bước 6

Thay $\frac{π}{4} - 1 + π n$ cho $K$ trong $y = \tan (x + K)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay $\frac{π}{4} - 1 + π n$ bằng $K$ .

$y = \tan (x + \frac{π}{4} - 1 + π n)$