Giải tích Ví dụ

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $(x^{2} - 1) y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2} - 1$ và $g (x) = y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Bước 1.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Bước 1.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

Bước 1.6

Cộng $2 x$ và $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

Bước 1.7

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Bước 1.9

Di chuyển $y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $x^{2} - 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ cho $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.4

Kết hợp.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.5

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Bước 6.3.1.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.6.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

Bước 6.3.1.6.2

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$