Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng một hàm số của $\frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

Bước 1.2

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\frac{y}{x}$ ra ngoài $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

Bước 1.2.2

Sắp xếp lại $\frac{y}{x}$ và $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Rút gọn $(\ln (V) + 1) V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Viết lại.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

Bước 6.1.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Bước 6.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

Bước 6.1.1.1.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.4.1

Nhân $V$ với $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

Bước 6.1.1.1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\ln (V) V + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

Bước 6.1.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

Bước 6.1.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $V \ln (V) + V - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

Bước 6.1.1.2.2.2

Cộng $V \ln (V)$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

Bước 6.1.1.3

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Bước 6.1.1.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Bước 6.1.1.3.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $V \ln (V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Giả sử $u = \ln (V)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{V} d V$ , nên $V d u = d V$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Hãy đặt $u = \ln (V)$ . Tìm $\frac{d u}{d V}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Bước 6.2.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (V)$ đối với $V$ là $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Bước 6.2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

Bước 6.3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

Bước 6.3.3

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

Bước 6.3.4

Viết lại $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

Bước 6.3.5

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

Bước 6.3.5.2

Nhân cả hai vế với $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

Bước 6.3.5.4

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} | x |$ .

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

Bước 6.3.5.4.3

Để giải tìm $V$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

Bước 6.3.5.4.4

Viết lại $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

Bước 6.3.5.4.5

Giải tìm $V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.5.4.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

Bước 6.3.5.4.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\pm | x | e^{C}}$ .

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

Bước 6.4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$V = e^{\pm C | x |}$

Bước 6.4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$V = e^{C | x |}$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{C | x |} x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C | x |} x$ .

$y = x e^{C | x |}$