Giải tích Ví dụ

$\sin (x) d y + y^{2} \cos (x) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} \cos (x)]$

Bước 2.2

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} \cos (x)$ đối với $y$ là $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) (2 y)$

Bước 2.4

Sắp xếp lại.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot \cos (x) y$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \cos (x) y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y \cos (x)$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 y \cos (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\cos (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y \cos (x) = \cos (x)$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 y \cos (x) = \cos (x)$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\cos (x)$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\cos (x) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $2 y \cos (x)$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{M}$

Bước 5.3

Thay $y^{2} \cos (x)$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $y^{2} \cos (x)$ bằng $M$ .

$\frac{\cos (x) - (2 y \cos (x))}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) - 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - 1 \cdot 2 y \cos (x)}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.2.1.2

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 y \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 1 \cdot 2 y)$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 1 \cdot 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.3

Thay $y^{2} \cos (x)$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (x) (1 - 2 y)}{y^{2} \cos (x)}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 - 2 y}{y^{2}}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{1 - 2 y}{y^{2}} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Di chuyển $y^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) {(y^{2})}^{- 1} d y}$

Bước 6.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{2 \cdot - 1} d y}$

Bước 6.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{\int (1 - 2 y) y^{- 2} d y}$

Bước 6.2

Nhân $(1 - 2 y) y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 1 y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $y^{- 2}$ với $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y \cdot y^{- 2} d y}$

Bước 6.3.2

Nhân $y$ với $y^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Di chuyển $y^{- 2}$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y) d y}$

Bước 6.3.2.2

Nhân $y^{- 2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 (y^{- 2} y^{1}) d y}$

Bước 6.3.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 2 + 1} d y}$

Bước 6.3.2.3

Cộng $- 2$ và $1$ .

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} - 2 y^{- 1} d y}$

Bước 6.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$μ (x, y) = e^{\int y^{- 2} d y + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Bước 6.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 2}$ đối với $y$ là $- y^{- 1}$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C + \int - 2 y^{- 1} d y}$

Bước 6.6

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 \int y^{- 1} d y}$

Bước 6.7

Tích phân của $y^{- 1}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- y^{- 1} + C - 2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 6.8

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (| y |)} + C$

Bước 6.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.9.1

Rút gọn $- 2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln ({| y |}^{2})} + C$

Bước 6.9.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $y^{2} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y^{2} \cos (x)$ với $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d x + \sin (x) d y = 0$

Bước 7.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $y^{2} \cos (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $\sin (x)$ với $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} d y = 0$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (x) e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})}$ .

$y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x + e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x) d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \cos (x)$ ở dạng $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \cos (x) d x$

Bước 9.2

Vì $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - (2 \ln (y))} \int \cos (x) d x$

Bước 9.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \int \cos (x) d x$

Bước 9.4

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\sin (x) + C)$

Bước 9.5

Rút gọn.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $\sin (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ đối với $y$ là $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}]$ .

$\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}$ .

$\sin (x) (y^{2} \frac{d}{d y} [e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)}] + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)]) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.4

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{d}{d y} [- \frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = - 1$ và $g (y) = \frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.6

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \frac{d}{d y} [- 1] + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $y$ là $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 + \frac{d}{d y} [- 2 \ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.9

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 \ln (y)$ đối với $y$ là $- 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{d}{d y} [\ln (y)])) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.10

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (- - y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.12

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (1 y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.13

Nhân $y^{- 2}$ với $1$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{1}{y} \cdot 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.14

Nhân $\frac{1}{y}$ với $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + 0 - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.15

Cộng $y^{- 2}$ và $0$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - 2 \frac{1}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.16

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} + \frac{- 2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.3.17

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (y^{- 2} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\sin (x) (y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}))) + \sin (x) (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y)) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\sin (x) y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y})) + \sin (x) e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} (2 y) + \frac{d g}{d y} = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (\frac{1}{y^{2}} - \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.2.1

Đưa $y^{2}$ ra ngoài $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + y^{2} (e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)) \frac{1}{y^{2}} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 12.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) (- \frac{2}{y}) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.5.4.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + y (- e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)) \frac{2}{y} + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

Bước 12.5.5.4.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) \cdot 2 + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.5.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x) + 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.6.1

Cộng $- 2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ và $2 e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} y \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + 0 = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 12.5.6.2

Cộng $\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} + e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) = e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Rút gọn $e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (y)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) - e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.2.1.2

Trừ $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ khỏi $e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x)$ .

$0 = - \frac{d g}{d y}$

Bước 13.1.3

Vì $\frac{d g}{d y}$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$- \frac{d g}{d y} = 0$

Bước 13.1.4

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d y} = 0$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{d g}{d y} = 0$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{d g}{d y}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 13.1.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{d g}{d y}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Bước 13.1.4.2.2

Chia $\frac{d g}{d y}$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{0}{- 1}$

Bước 13.1.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.3.1

Chia $0$ cho $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 14.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 14.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - 2 \ln (y)} \sin (x) + C$

Bước 16

Rút gọn $- 2 \ln (y)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = y^{2} e^{- \frac{1}{y} - \ln (y^{2})} \sin (x) + C$