Giải tích Ví dụ

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Bước 1

Giả sử $v = y^{2}$ . Thay $v$ cho tất cả các lần xuất hiện của $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{d v}{d x}$ bằng cách tính đạo hàm $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Bước 3

Thay đạo hàm trở lại phương trình vi phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y$ .

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Bước 4

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Bước 5

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x v$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [v]$ ở dạng $v'$ .

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Bước 5.4

Thay $\frac{d v}{d x}$ bằng $v'$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Bước 5.5

Sắp xếp lại $v$ và $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Bước 5.6

Nhân $v$ với $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Bước 6

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Bước 7

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Bước 8

Lấy tích phân vế trái.

$x v = \int 2 x d x$

Bước 9

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$x v = 2 \int x d x$

Bước 9.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Bước 9.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x v = 1 x^{2} + C$

Bước 9.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Bước 10

Chia mỗi số hạng trong $x v = x^{2} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Chia mỗi số hạng trong $x v = x^{2} + C$ cho $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 10.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 10.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 10.3.1.2.5

Chia $x$ cho $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Bước 12

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Bước 12.2

Rút gọn $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Để viết $x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Bước 12.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Bước 12.2.3

Nhân $x$ với $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Bước 12.2.4

Viết lại $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Bước 12.2.5

Nhân $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 12.2.6

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.6.1

Nhân $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 12.2.6.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Bước 12.2.6.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Bước 12.2.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 12.2.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 12.2.6.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.6.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 12.2.6.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 12.2.6.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.2.6.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.6.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 12.2.6.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Bước 12.2.6.6.5

Rút gọn.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Bước 12.2.7

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Bước 12.2.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Bước 12.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Bước 12.3.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Bước 12.3.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$