Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$ , $y (0) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{7}{{(4 + x)}^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{7}{{(4 + x)}^{2}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{7}{{(4 + x)}^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{{(4 + x)}^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 4 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 4 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $4 + x$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 7 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 2.3.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = 7 \int u^{- 2} d u$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- u^{- 1} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Viết lại $7 (- u^{- 1} + C_{2})$ ở dạng $7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 7 (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Nhân $- 1$ với $7$ .

$y + C_{1} = - 7 \frac{1}{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.2

Kết hợp $- 7$ và $\frac{1}{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 7}{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{7}{u} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 + x$ .

$y + C_{1} = - \frac{7}{4 + x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{7}{4 + x} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $4$ cho $y$ trong $y = - \frac{7}{4 + x} + K$ .

$4 = - \frac{7}{4 + 0} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{7}{4 + 0} + K = 4$ .

$- \frac{7}{4 + 0} + K = 4$

Bước 4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$- \frac{7}{4} + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{7}{4}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 4 + \frac{7}{4}$

Bước 4.3.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$K = 4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{7}{4}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{7}{4}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{4 \cdot 4 + 7}{4}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $4$ với $4$ .

$K = \frac{16 + 7}{4}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $16$ và $7$ .

$K = \frac{23}{4}$

Bước 5

Thay $\frac{23}{4}$ cho $K$ trong $y = - \frac{7}{4 + x} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{23}{4}$ bằng $K$ .

$y = - \frac{7}{4 + x} + \frac{23}{4}$

Bước 5.2

Để viết $- \frac{7}{4 + x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4 + x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{23}{4}$

Bước 5.3

Để viết $\frac{23}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$y = - \frac{7}{4 + x} \cdot \frac{4}{4} + \frac{23}{4} \cdot \frac{4 + x}{4 + x}$

Bước 5.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(4 + x) \cdot 4$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nhân $\frac{7}{4 + x}$ với $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 4}{(4 + x) \cdot 4} + \frac{23}{4} \cdot \frac{4 + x}{4 + x}$

Bước 5.4.2

Nhân $\frac{23}{4}$ với $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$y = - \frac{7 \cdot 4}{(4 + x) \cdot 4} + \frac{23 (4 + x)}{4 (4 + x)}$

Bước 5.4.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(4 + x) \cdot 4$ .

$y = - \frac{7 \cdot 4}{4 (4 + x)} + \frac{23 (4 + x)}{4 (4 + x)}$

Bước 5.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{- 7 \cdot 4 + 23 (4 + x)}{4 (4 + x)}$

Bước 5.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Nhân $- 7$ với $4$ .

$y = \frac{- 28 + 23 (4 + x)}{4 (4 + x)}$

Bước 5.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{- 28 + 23 \cdot 4 + 23 x}{4 (4 + x)}$

Bước 5.6.3

Nhân $23$ với $4$ .

$y = \frac{- 28 + 92 + 23 x}{4 (4 + x)}$

Bước 5.6.4

Cộng $- 28$ và $92$ .

$y = \frac{64 + 23 x}{4 (4 + x)}$