Giải tích Ví dụ

$(y + 2 x) d y + y d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Bước 3.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 2$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 = 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - 1}{M}$

Bước 5.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{2 - 1}{y}$

Bước 5.3.2

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Bước 6.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | y | + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $y d x + (y + 2 x) d y = 0$ với hệ số tích phân $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $y$ với $y$ .

$y \cdot y d x + (y + 2 x) d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $y + 2 x$ với $y$ .

$y^{2} d x + (y + 2 x) y d y = 0$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} d x + (y \cdot y + 2 x y) d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $y$ với $y$ .

$y^{2} d x + (y^{2} + 2 x y) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d x$

Bước 9

Lấy tích phân $M (x, y) = y^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y^{2} x + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + g (y)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + 2 x y$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x + g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{2} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y$

Bước 12.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = y^{2} + 2 x y$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 2 x y - 2 x y$

Bước 13.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} + 2 x y - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.2.1

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Bước 13.1.2.2

Cộng $y^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $y^{2}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Bước 14.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 15

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 16

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$