Giải tích Ví dụ

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y^{2}$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{y^{2}}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Bước 1.4.2

Viết lại $\frac{1}{y^{2}}$ ở dạng ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Bước 1.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{- 1}$ và $g (y) = y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 1.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 1.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 1.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Bước 1.4.5

Nhân các số mũ trong ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Bước 1.4.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Bước 1.4.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Bước 1.4.7

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Bước 1.4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Bước 1.4.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Bước 1.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Bước 1.5.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Bước 1.5.2.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Bước 1.5.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Bước 2.2

Vì $4 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2} y$ đối với $x$ là $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Bước 2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $8 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $8 x y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Bước 4.3

Thay $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ bằng $M$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Bước 4.3.2

Nhân tử số và mẫu số của phân số với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ với $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Bước 4.3.2.2

Kết hợp.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Bước 4.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.1.2

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.1.3

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.3

Nhân $y^{- 1}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.3.2

Nhân $y$ với $y^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.3.3

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.4

Rút gọn $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.8

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{y}$ vào tử số.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.8.2

Đưa $y$ ra ngoài $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.8.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.8.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.9

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10

Nhân $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.10.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10.3

Nhân $\frac{1}{y}$ với $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10.4

Nhân $y$ với $y^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.10.4.1

Nhân $y$ với $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.10.4.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.10.4.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.11

Trừ $4 x$ khỏi $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.12

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.12.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.12.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.12.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.13

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.14

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.15

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.15.1

Kết hợp $y^{3}$ và $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.15.2

Kết hợp $2$ và $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.15.3

Kết hợp $x$ và $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.16

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.17

Rút gọn biểu thức $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.17.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.17.2

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.17.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.17.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.5.18

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Bước 4.3.6

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Bước 4.3.6.1.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Bước 4.3.6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Bước 4.3.6.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Bước 4.3.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Bước 4.3.6.3

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.3.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Bước 4.3.6.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Bước 4.3.6.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Bước 4.3.7

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Bước 4.3.8

Kết hợp.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Bước 4.3.9

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Bước 4.3.9.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Bước 4.3.10

Triệt tiêu thừa số chung $2 y^{4} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.10.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Bước 4.3.10.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Bước 4.3.11

Thay $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ bằng $M$ .

$\frac{2}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Bước 5.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ với hệ số tích phân $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ với $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $y^{2}$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.3.3

Cộng $2$ và $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $4 x^{2} y$ với $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Bước 6.6.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Bước 6.6.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Bước 6.6.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $4 x^{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4 x^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ ở dạng $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2.4

Nhân $4$ với $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Bước 8.3.2.5.2

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y^{4} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y^{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y^{4}$ đối với $x$ là $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $2 y^{4} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 x y^{4}$ và $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Bước 12.1.2.2

Trừ $2 y^{4} x$ khỏi $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 13.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số của $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 15.3

Để viết $y^{4} x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 15.4

Kết hợp $y^{4} x^{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 15.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Bước 15.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Bước 15.6.1.2

Nhân với $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Bước 15.6.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Bước 15.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$