Giải tích Ví dụ

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} = - 1 - 2 r \cos (θ)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d r}{d θ} + M (θ) r = Q (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $2 r \cos (θ)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \cos (θ) = - 1$

Bước 1.2

Đưa $r$ ra ngoài $2 r \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + r (2 \cos (θ)) = - 1$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $r$ và $2 \cos (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$

Bước 1.4

Chia mỗi số hạng trong $\sin (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \cos (θ) r = - 1$ cho $\sin (θ)$ .

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin (θ) \frac{d r}{d θ}}{\sin (θ)} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 1.5.2

Chia $\frac{d r}{d θ}$ cho $1$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 1.6

Đưa $r$ ra ngoài $\frac{2 \cos (θ) r}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + r \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 1.7

Sắp xếp lại $r$ và $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{d r}{d θ} + \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r = \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (θ) d θ}$ , trong đó $P (θ) = \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tách các phân số.

$e^{\int \frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} d θ}$

Bước 2.2.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ sang $\cot (θ)$ .

$e^{\int \frac{2}{1} \cot (θ) d θ}$

Bước 2.2.3

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{\int 2 \cot (θ) d θ}$

Bước 2.2.4

Vì $2$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \cot (θ) d θ}$

Bước 2.2.5

Tích phân của $\cot (θ)$ đối với $θ$ là $\ln (| \sin (θ) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sin (θ) |) + C)}$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| \sin (θ) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (\sin (θ))}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (\sin^{2} (θ))}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sin^{2} (θ)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sin^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tách các phân số.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.2.2

Quy đổi từ $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ sang $\cot (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \sin^{2} (θ) (\frac{2}{1} \cot (θ) r) = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + \frac{2}{1} \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin^{2} (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \sin (θ) \frac{- 1}{\sin (θ)}$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = \sin (θ) \cdot - 1$

Bước 3.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - 1 \cdot \sin (θ)$

Bước 3.5

Viết lại $- 1 \sin (θ)$ ở dạng $- \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 \sin^{2} (θ) \cot (θ) r = - \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) \frac{d r}{d θ} + 2 r \sin^{2} (θ) \cot (θ) = - \sin (θ)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] = - \sin (θ)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ) r] d θ = \int - \sin (θ) d θ$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\sin^{2} (θ) r = \int - \sin (θ) d θ$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\sin^{2} (θ) r = - \int \sin (θ) d θ$

Bước 7.2

Tích phân của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $- \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) r = - (- \cos (θ) + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn.

$\sin^{2} (θ) r = - - \cos (θ) + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\sin^{2} (θ) r = 1 \cos (θ) + C$

Bước 7.3.2.2

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ cho $\sin^{2} (θ)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\sin^{2} (θ) r = \cos (θ) + C$ cho $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sin^{2} (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sin^{2} (θ) r}{\sin^{2} (θ)} = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $r$ cho $1$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $\sin (θ)$ ra ngoài $\sin^{2} (θ)$ .

$r = \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3.1.2

Tách các phân số.

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3.1.3

Quy đổi từ $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ sang $\cot (θ)$ .

$r = \frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3.1.4

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (θ)}$ sang $\csc (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3.1.5

Nhân với $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{\sin^{2} (θ) \cdot 1}$

Bước 8.3.1.6

Tách các phân số.

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Bước 8.3.1.7

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ sang $\csc^{2} (θ)$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + \frac{C}{1} \csc^{2} (θ)$

Bước 8.3.1.8

Chia $C$ cho $1$ .

$r = \csc (θ) \cot (θ) + C \csc^{2} (θ)$