Giải tích Ví dụ

$\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ cho $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x} = x$ cho $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - 4 x^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.2

Viết lại $4 x^{2}$ ở dạng ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}}}$

Bước 1.1.3.1.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 1$ và $b = 2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))}}$

Bước 1.1.3.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Bước 1.1.3.2

Nhân $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Bước 1.1.3.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ với $\frac{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Bước 1.1.3.3.2

Nâng $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}$

Bước 1.1.3.3.3

Nâng $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1} {\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1}}$

Bước 1.1.3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{1 + 1}}$

Bước 1.1.3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.6

Viết lại ${\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}^{2}$ ở dạng $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$ ở dạng ${((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{({((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.1.3.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.1.3.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.3.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.1.3.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{{((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{1}}$

Bước 1.1.3.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{x \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)}}{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Sau đó $d u = - 8 x d x$ , nên $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = (1 + 2 x) (1 - 2 x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + 2 x) (1 - 2 x)]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + 2 x$ và $g (x) = 1 - 2 x$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [1 - 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(1 + 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + 2 x) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.6.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$(1 + 2 x) \cdot - 2 + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.6.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $1 + 2 x$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [1 + 2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.1.1.3.8

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 2.3.1.1.3.9

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.1.3.10

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (1 + 2 x) + (1 - 2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.1.1.3.11

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 - 2 x$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 \cdot (1 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x) \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.3.13

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 (1 + 2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 (1 - 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.3.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 - 2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4.3.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 2 - 4 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$- 2 - 4 x + 2 + 2 (- 2 x)$

Bước 2.3.1.1.4.3.4

Nhân $- 2$ với $2$ .

$- 2 - 4 x + 2 - 4 x$

Bước 2.3.1.1.4.3.5

Cộng $- 2$ và $2$ .

$- 4 x + 0 - 4 x$

Bước 2.3.1.1.4.3.6

Cộng $- 4 x$ và $0$ .

$- 4 x - 4 x$

Bước 2.3.1.1.4.3.7

Trừ $4 x$ khỏi $- 4 x$ .

$- 8 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Bước 2.3.2.2

Nhân $\frac{\sqrt{u}}{u}$ với $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 8} d u$

Bước 2.3.2.3

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $u$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{8 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.5.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $(1 + 2 x) (1 - 2 x)$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - \frac{1}{4} {((1 + 2 x) (1 - 2 x))}^{\frac{1}{2}} + K$