Giải tích Ví dụ

$x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x \cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x \cos^{2} (y)]$

Bước 1.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x \cos^{2} (y)$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Bước 1.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)])$

Bước 1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot x \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]$

Bước 1.5

Đạo hàm của $\cos (y)$ đối với $y$ là $- \sin (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cos (y) (- \sin (y))$

Bước 1.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x \cos (y) \sin (y)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \tan (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\tan (y)]$

Bước 2.2

Vì $\tan (y)$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\tan (y)$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 2 x \cos (y) \sin (y) = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{M}$

Bước 4.3

Thay $x \cos^{2} (y)$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x \cos^{2} (y)$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{0 + 2 (x \cos (y) \sin (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.2

Sắp xếp lại $2$ và $x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{0 + x \cos (y) \sin (y) \cdot 2}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{0 + x \cos (y) (\sin (y) \cdot 2)}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.4

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\frac{0 + x (\cos (y) (\sin (y) \cdot 2))}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.5

Sắp xếp lại $\cos (y)$ và $\sin (y) \cdot 2$ .

$\frac{0 + x (\sin (y) \cdot 2 \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.6

Sắp xếp lại $\sin (y)$ và $2$ .

$\frac{0 + x (2 \cdot \sin (y) \cos (y))}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.7

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{0 + x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.2.8

Cộng $0$ và $x \sin (2 y)$ .

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \sin (2 y)}{x \cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sin (2 y)}{\cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\frac{2 \sin (y) \cos (y)}{\cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos (y)$ và $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $2 \sin (y) \cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos^{2} (y)}$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Đưa $\cos (y)$ ra ngoài $\cos^{2} (y)$ .

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Bước 4.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (y) (2 \sin (y))}{\cos (y) \cos (y)}$

Bước 4.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \sin (y)}{\cos (y)}$

Bước 4.3.6

Tách các phân số.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$

Bước 4.3.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ sang $\tan (y)$ .

$\frac{2}{1} \tan (y)$

Bước 4.3.8

Thay $x \cos^{2} (y)$ bằng $M$ .

$2 \tan (y)$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 \tan (y) d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int 2 \tan (y) d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \tan (y) d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\tan (y)$ đối với $y$ là $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $2 \ln (| \sec (y) |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{2})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{2} + C$

Bước 5.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| \sec (y) |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = \sec^{2} (y) + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $x \cos^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$ với hệ số tích phân $\sec^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x \cos^{2} (y)$ với $\sec^{2} (y)$ .

$x \cos^{2} (y) \sec^{2} (y) d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.2

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$x \cos^{2} (y) {(\frac{1}{\cos (y)})}^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$x \cos^{2} (y) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Đưa $\cos^{2} (y)$ ra ngoài $x \cos^{2} (y)$ .

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\cos^{2} (y) x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)} d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.4.3

Viết lại biểu thức.

$x \cdot 1^{2} d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$x \cdot 1 d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $x$ với $1$ .

$x d x + \tan (y) d y = 0$

Bước 6.7

Nhân $\tan (y)$ với $\sec^{2} (y)$ .

$x d x + \tan (y) \sec^{2} (y) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 11.3

Vì $\frac{1}{2} x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\tan (y) \sec^{2} (y)$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \tan (y) \sec^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \tan (y) \sec^{2} (y) d y$

Bước 12.3

Giả sử $u = \sec (y)$ . Sau đó $d u = \sec (y) \tan (y) d y$ , nên $\frac{1}{\sec (y) \tan (y)} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Hãy đặt $u = \sec (y)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Tính đạo hàm $\sec (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\sec (y)]$

Bước 12.3.1.2

Đạo hàm của $\sec (y)$ đối với $y$ là $\sec (y) \tan (y)$ .

$\sec (y) \tan (y)$

Bước 12.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = \int u d u$

Bước 12.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} u^{2} + C$

Bước 12.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sec (y)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Bước 13

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Bước 14

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sec^{2} (y) + C$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec^{2} (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{\sec^{2} (y)}{2} + C$