Giải tích Ví dụ

$(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + 2 y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x + 2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x + 2 = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 x + 2 = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $2 x + 2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{M}$

Bước 4.3

Thay $2 x y + 2 y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 x y + 2 y$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (2 x + 2)}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0 - (2 x) - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{0 - 2 x - 1 \cdot 2}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 - 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.4

Trừ $- (- 2 x - 2)$ khỏi $0$ .

$\frac{- 2 x - 2}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.5

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) - 2}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (- 1)}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.2.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 x y + 2 y}$

Bước 4.3.3

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x) + 2 y (1)}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- x - 1)}{2 y (x + 1)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x - 1}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- x - 1$ và $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 1}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (1)}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1)}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5.4

Viết lại $- (x + 1)$ ở dạng $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x + 1)}{y (x + 1)}$

Bước 4.3.5.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{y}$

Bước 4.3.6

Thay $2 x y + 2 y$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 x y + 2 y) d x - y d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 x y + 2 y$ với $\frac{1}{y}$ .

$(2 x y + 2 y) \frac{1}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $2 x y + 2 y$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{2 x y + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{2 y (x) + 2 y (1)}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $2 y$ ra ngoài $2 y (x) + 2 y (1)$ .

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y (x + 1)}{y} d x - y d y = 0$

Bước 6.4.2

Chia $2 (x + 1)$ cho $1$ .

$2 (x + 1) d x - y d y = 0$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(2 x + 2 \cdot 1) d x - y d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $2$ với $1$ .

$(2 x + 2) d x - y d y = 0$

Bước 6.7

Nhân $- y$ với $\frac{1}{y}$ .

$(2 x + 2) d x - y \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.8

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 x + 2) d x + y \cdot - 1 \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.8.3

Viết lại biểu thức.

$(2 x + 2) d x - 1 d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - 1 d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = - 1$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x + 2$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- y + g (x)] = 2 x + 2$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Bước 11.3

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x + 2$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $2 x + 2$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 2 x + 2$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x + 2 d x$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x + 2 d x$

Bước 12.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (x) = \int 2 x d x + \int 2 d x$

Bước 12.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = 2 \int x d x + \int 2 d x$

Bước 12.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 d x$

Bước 12.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 x + C$

Bước 12.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 x + C$

Bước 12.8

Rút gọn.

$g (x) = x^{2} + 2 x + C$

Bước 13

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - y + g (x)$ .

$f (x, y) = - y + x^{2} + 2 x + C$