Giải tích Ví dụ

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (1 + 2 x \tan (y))$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 2 x \tan (y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Bước 2.6

Vì $2 \tan (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x \tan (y)$ đối với $x$ là $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Bước 2.9

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 \tan (y)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = - 2 \tan (y)$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- 2 \tan (y)$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Bước 4.3

Thay $1$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $1$ bằng $M$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Bước 4.3.2

Chia $- 2 \tan (y) + 0$ cho $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Bước 4.3.3

Thay $1$ bằng $M$ .

$- 2 \tan (y)$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\tan (y)$ đối với $y$ là $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ bằng cách di chuyển $- 2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Bước 5.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| \sec (y) |}^{- 2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Bước 5.4.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Bước 5.4.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Bước 5.4.6

Viết lại $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Bước 5.4.7

Viết lại $\sec (y)$ theo sin và cosin.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Bước 5.4.8

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Bước 5.4.9

Nhân $\cos (y)$ với $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Bước 6

Nhân $1$ với $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos^{2} (y) x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\cos^{2} (y) x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3.3

Đạo hàm của $\cos (y)$ đối với $y$ là $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.3.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Cộng $2 x \cos (y) \sin (y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ và $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Bước 12.1.2.2

Cộng $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ và $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $- \cos^{2} (y)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $- \cos^{2} (y)$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Bước 13.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Bước 13.4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (y)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Bước 13.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Bước 13.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Bước 13.7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Bước 13.8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Bước 13.9

Giả sử $u = 2 y$ . Sau đó $d u = 2 d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Hãy đặt $u = 2 y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1.1

Tính đạo hàm $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 13.9.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 13.9.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 13.9.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 13.9.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 13.10

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 13.11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 13.12

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 13.13

Rút gọn.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 13.14

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Bước 13.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Bước 13.15.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Bước 13.15.3

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Bước 13.15.4

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.15.4.1

Nhân $\frac{\sin (2 y)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 13.15.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Bước 13.16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.16.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Bước 13.16.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Bước 13.16.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Bước 15.1.2

Kết hợp $\sin (2 y)$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Bước 15.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$