Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 4 y = x - 2 x^{2}$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 4 d x}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{4 x + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{4 x}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} x + e^{4 x} (- 2 x^{2})$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x + e^{4 x} (- 2 x^{2})$

Bước 2.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x - 2 e^{4 x} x^{2}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x - 2 e^{4 x} x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{4 x} y = \int x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{4 x} y = \int x e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.3.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.5

Giả sử $u_{1} = 4 x$ . Sau đó $d u_{1} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Hãy đặt $u_{1} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 6.5.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.5.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.6

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.8.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.8.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.9

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.10

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int x^{2} e^{4 x} d x$

Bước 6.11

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2}$ và $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Bước 6.12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Bước 6.12.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Bước 6.12.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} (2 x) d x)$

Bước 6.12.4

Kết hợp $2$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 e^{4 x}}{4} x d x)$

Bước 6.12.5

Kết hợp $\frac{2 e^{4 x}}{4}$ và $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 e^{4 x} x}{4} d x)$

Bước 6.12.6

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{4} d x)$

Bước 6.12.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.12.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{2 \cdot 2} d x)$

Bước 6.12.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{2 \cdot 2} d x)$

Bước 6.12.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x} x}{2} d x)$

Bước 6.13

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} x d x))$

Bước 6.14

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Bước 6.15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Bước 6.15.2

Kết hợp $x$ và $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Bước 6.15.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x))$

Bước 6.16

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)))$

Bước 6.17

Giả sử $u_{2} = 4 x$ . Sau đó $d u_{2} = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.17.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.17.1.1

Tính đạo hàm $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Bước 6.17.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6.17.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.17.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6.17.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}))$

Bước 6.18

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}))$

Bước 6.19

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Bước 6.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.20.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Bước 6.20.2

Nhân $4$ với $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Bước 6.21

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)))$

Bước 6.22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.1

Rút gọn.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.2.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.2

Kết hợp $\frac{x}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.4

Kết hợp $\frac{x^{2}}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.6

Kết hợp $\frac{x}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Bước 6.22.2.7

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})) + C$

Bước 6.22.2.8

Để viết $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Bước 6.22.2.9

Kết hợp $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})$ và $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot 4}{4}) + C$

Bước 6.22.2.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Bước 6.22.2.11

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.12

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.2.13.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.2.13.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.13.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Bước 6.22.2.14

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{- 2 (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))}{4} + C$

Bước 6.22.2.15

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.2.15.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{4} + C$

Bước 6.22.2.15.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.22.2.15.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{2 (2)} + C$

Bước 6.22.2.15.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{2 \cdot 2} + C$

Bước 6.22.2.15.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))}{2} + C$

Bước 6.22.2.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{2} + C$

Bước 6.23

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.23.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $4 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{2} + C$

Bước 6.23.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.24.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.24.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24.2.4

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Bước 6.24.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.24.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{e^{4 x}}{16}$ vào tử số.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{2} + C$

Bước 6.24.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{2} + C$

Bước 6.24.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{2} + C$

Bước 6.24.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{2} + C$

Bước 6.24.3.5

Viết lại biểu thức.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Bước 6.24.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.24.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Bước 6.24.4.2

Nhân $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.24.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Bước 6.24.4.2.2

Nhân $\frac{e^{4 x}}{8}$ với $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Bước 6.24.5

Kết hợp $e^{4 x}$ và $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Bước 6.25

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{1}{2} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Nhân $- \frac{1}{2} (x e^{4 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{x}{2} e^{4 x} + \frac{1}{8} \cdot e^{4 x}) + C$

Bước 7.1.1.1.2

Kết hợp $e^{4 x}$ và $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{1}{8} \cdot e^{4 x}) + C$

Bước 7.1.1.2

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.2

Sắp xếp lại các thừa số của $x^{2} e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{4 x} x^{2} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.3

Cộng $e^{4 x} x^{2}$ và $\frac{e^{4 x}}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Sắp xếp lại $e^{4 x}$ và $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + x^{2} e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.3.2

Để viết $x^{2} e^{4 x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + x^{2} e^{4 x} \cdot \frac{8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.3.3

Kết hợp $x^{2} e^{4 x}$ và $\frac{8}{8}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8 + e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $x^{2} e^{4 x} \cdot 8 + e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.4.1.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $x^{2} e^{4 x} \cdot 8$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x}}{8}) + C$

Bước 7.1.4.1.2

Nhân với $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x} \cdot 1}{8}) + C$

Bước 7.1.4.1.3

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8 + 1)}{8}) + C$

Bước 7.1.4.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Bước 7.1.5

Để viết $- \frac{e^{4 x} x}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Bước 7.1.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Nhân $\frac{e^{4 x} x}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Bước 7.1.6.2

Nhân $2$ với $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{8} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Bước 7.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{4 x} x \cdot 4 + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Bước 7.1.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $- e^{4 x} x \cdot 4 + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.8.1.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $- e^{4 x} x \cdot 4$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Bước 7.1.8.1.2

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Bước 7.1.8.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- 4 x + 8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Bước 7.1.8.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8} + C$

Bước 7.1.9

Nhân $- \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.9.1

Nhân $\frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8}$ với $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8 \cdot 2} + C$

Bước 7.1.9.2

Nhân $8$ với $2$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Bước 7.1.10

Kết hợp $e^{4 x}$ và $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Bước 7.1.11

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot x e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Bước 7.2

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$ cho $e^{4 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$ cho $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.1.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - e^{4 x} (8 x^{2}) - e^{4 x} (- 4 x) - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - e^{4 x} (- 4 x) - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.2.3.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.2.3.2

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.3

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.3.1

Trừ $e^{4 x}$ khỏi $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $- 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - 2 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.1

Nhân $\frac{1}{4} (x e^{4 x})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.1.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{4 x} + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.1.2

Kết hợp $\frac{x}{4}$ và $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.2

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.2.1

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $- 8 x^{2} e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.2.2

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $4 x e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x) - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.2.3

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $- 2 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.2.4

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.2.5

Đưa $2 e^{4 x}$ ra ngoài $2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{16}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{2 \cdot 8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{2 \cdot 8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.5

Để viết $\frac{x e^{4 x}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.6.1

Nhân $\frac{x e^{4 x}}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.6.2

Nhân $4$ với $2$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2}{8} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2 + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $x e^{4 x} \cdot 2 + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1.1.1

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $x e^{4 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (x \cdot 2) + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.1.2

Đưa $e^{4 x}$ ra ngoài $e^{4 x} (x \cdot 2) + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (x \cdot 2 - 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.3

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1.3.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.3.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.4

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 2 x + 1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.8.1.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.2

Viết lại $1$ ở dạng $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.4

Viết lại $- (2 x - 1)$ ở dạng $- 1 (2 x - 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.5

Nâng $2 x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.6

Nâng $2 x - 1$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.7

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.5.8

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.1.6

Đưa dấu âm ra ngoài.

$y = \frac{C + \frac{- e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{C - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.9

Để viết $C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{8}{8} - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.3.10.1

Kết hợp $C$ và $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 8}{8} - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.10.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\frac{C \cdot 8 - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.11

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $C$ .

$y = \frac{\frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.12

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Bước 7.2.3.13

Nhân $\frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}$ với $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8 e^{4 x}}$