Giải tích Ví dụ

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

Bước 1

Trừ $4 d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{4 + x^{2}}$ và $- 4$ .

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Bước 4.3.3

Viết biểu thức bằng số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $4$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Bước 4.3.4

Tích phân của $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Bước 4.3.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Bước 4.3.5.2

Viết lại $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ ở dạng $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.1

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.3.5.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Bước 4.3.5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$